大学入試良問スレ
tan1°は有理数か
（2006 京都大学）
シンプルな問題の中に
・tan1が無理数であるという予想を立てる能力
・帰納法と背理法を結びつける能力
が問われてるこの問題本当に好き削除された記事が2件あります.見る

…	【問題１】tan1°が無理数であることを示しなさい。 【問題２】cos1°が無理数であることを示しなさい。 【問題３】sin1°が無理数であることを示しなさい。 http://open.mixi.jp/user/14882521/diary/1282208078

…	正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。 この八面体を真上から見た図(平面図)をかけ。 (2008年東大理系第3問)

…	tanα, tanβ が両方とも有理数だとすると、 tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) も有理数になる。 したがって、tanαが有理数のとき、 tan2α=tan(α+α)も有理数、tan3α=tan(2α+α)も有理数、tan5α=tan(2α+3α)も有理数になる。 いま tan1°が有理数と仮定すると、 tan2°も有理数、tan10°も有理数、tan20°も有理数、tan60°も有理数になる。 ところが tan60°=√3 で無理数だから、これは矛盾である。 したがって tan1°は有理数ではない。

…	>tanαが有理数のとき、 >tan2α=tan(α+α)も有理数、tan3α=tan(2α+α)も有理数、>tan5α=tan(2α+3α)も有理数になる。 どうして?

…	ちょっと省略して書きすぎたかも。 > tanα, tanβ が両方とも有理数だとすると、 > tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) も有理数になる。 これを《補題》とする。 tanαが有理数のとき、 《補題》のβをαで置換するとtan2αも有理数になる。…�@ 《補題》のβを2αで置換すると�@と合わせてtan3αも有理数になる。…�A 《補題》のαを2αで置換し、βを3αで置換すると�@, �Aと合わせてtan5αも有理数になる。 これで良いでしょうか。

…	有理数の四則演算の結果は有理数になるって自明のように使っていいんだろうかとか考え出すと解答がどんどん長くなる

…	√３が無理数なのも自明として扱っていいかのかのも悩む

…	>ちょっと省略して書きすぎたかも。 ああごめん、一番上の加法定理見逃してたわ

…	> 有理数の四則演算の結果は有理数になるって自明のように使っていいんだろうかとか考え出すと解答がどんどん長くなる > √３が無理数なのも自明として扱っていいかのかのも悩む 入試の答案ならきちんと証明するべきかも知れないけど、そこは掲示板なので細かいところはご容赦願います。

…	> 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。 > この八面体を真上から見た図(平面図)をかけ。> (2008年東大理系第3問)こんな感じの図になるかも。正八面体には面が８個、頂点が６個、辺が１２個あり、頂点の座標は(±1,0,0), (0,±1,0), (0,0,±1) と表すことができる。

…	図が汚いのはご容赦ください。 本当はきれいな正六角形になるはずですが上手に描けませんでした。

…	2017 聖マリ 1〜3は定番だけど、4からが解いてて楽しい

…	> 2017 聖マリ (1) は (i) で a=b=0とすると f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) となる。 これを移項すると f(0)=0 になる。 (2) は (ii) で a=b=1とすると f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1) となる。 (iii) より f(1) は 0 ではないので割ることができるから f(1)=1 となる。 (3) は (i) で a=n-1, b=1とすると f(n) = f((n-1)+1) = f(n-1)+f(1) = f(n-1)+1 となる。 また、f(1)=1 だから帰納法より f(n)=n となる。

…	書き込みをした人によって削除されました

…

(4) 正の有理数 q を q=n/m とおく。(n, m は正の整数) (ii) で a=n, b=1/m とすると f(q) = f(n/m) = f(n*(1/m)) = f(n)*f(1/m) となる。 f(n)は分かるが、f(1/m)が分からないので次のように求める。 (ii) で a=m, b=1/m とすると f(1) = f(m*(1/m)) = f(m)*f(1/m) となる。 f(1)=1, f(m)=m だから f(1/m)=1/m である。 以上のことから f(q) = f(n/m) = f(n*(1/m)) = f(n)*f(1/m) = n*(1/m) = n/m = q となる。

…	書き込みをした人によって削除されました

…	(5) tは正の実数だから、√t も実数である。 (ii) で a=√t, b=√t とすると f(t) = f(√t*√t) = f(√t)*f(√t) = f(√t)^2 ≧ 0 となるから、f(t)は0または正であることが分かる。 また、tは正の実数だから、1/t も実数である。 (ii) で a=t, b=1/t とすると f(1) = f(t*(1/t)) = f(t)*f(1/t) となる。 一方、f(1)=1 だから、f(t)は0ではないことが分かる。 以上のことから、f(t)＞0 であるといえる。